امنیت در گراف

در دنیای اطراف ما، وضیعت¬های فراونی وجود دارند که می¬توان توسط نظریه گراف به توصیف آنها پرداخت. به¬عنوان مثال، فرض کنید که کشور¬ها نماینده رئوس در گراف¬ و یال¬ها هم روابط ممکن بین کشور¬ها باشند. مجموعه چند کشور تشکیل یک اتحاد می¬دهند هرگاه هر کشور در داخل آن مجموعه حداقل همان اندازه که دوست دارد به¬همان اندازه دشمن در خارج این مجموعه داشته باشد. به¬عبارت دیگر مجموعه¬هایی از رئوس در گراف تشکیل اتحاد می¬دهند هرگاه هر رأس در این مجموعه، حداقل همان اندازه که با رئوس داخلی مجموعه مجاور است به¬همان اندازه مجاور، با رئوس بیرونی این مجموعه باشد چنین اتحادی را اتحاد دفاعی می¬گوییم که اولین بار توسط استیفان هدیتنمی و همکارانش در سال 2001 در مقاله¬ای تحت عنوان اتحاد در گراف مطرح شد. از آن پس این موضوع مورد بحث و بررسی قرار گرفت که در سایه این تلاش¬ها اتحادهای دیگری هم تعریف شد که شامل اتحاد تهاجمی و اتحاد نیرومند است. اخیراً در سال 2007 رابرت سی بریقام و همکارانش تعریف جدیدی به عنوان مجموعه امن ارائه کردند که تعریف¬شان مبتنی بر زیرمجموعه¬های یک مجموعه بود. در فصل اول مفاهیم و مقدمات نظریه گراف که در فصل¬های بعد به آن نیازمندیم را یاد آوری می¬کنیم. در فصل دوم اتحادها را به¬طور کامل بررسی خواهیم کرد. در فصل سوم شرایط لازم و کافی براینکه یک مجموعه امن باشد را معین می¬کنیم و در آخر این فصل کران¬هایی برای کوچکترین مجموعه امن بدست می¬آوریم. همچنین در فصل چهارم ما اتحاد باز که یکی از مسایل باز است را مورد مطالعه قرار می¬دهیم و بسیاری از خواص این مفهوم را استخراج کرده، سپس روی کران¬های آن بحث می¬کنیم.